Hauptseite  /   Suche und Links  /   Philosophie und Autorin dieser Seite

erste Version: 1/2017
letzte vollständige Überarbeitung: 3-5/2019
letzte Bearbeitung: 10/2019

VB201.

Musik, Physik und Evolution

Inhalt

VB201.1 Kersti: Fächerübergreifendes Lernen und seine Bedeutung
VB201.2 Kersti: Resonanzfrequenzen und Obertöne
VB201.2.1 Kersti: Die Schwingung der Guitarrensaite - eine transversale Schwingung (VB20121.2.1 Kersti: Illustrierte Version)
VB201.2.2 Kersti: Blasinstrumente: Longitudinale Schwingungen in der Musik
VB201.2.3 Kersti: Chladnische Klangfiguren und was man daraus über Musikinstrumente lernen kann (VB20121.2.3 Kersti: Illustrierte Version)
VB201.3 Kersti: Text
VB201. Kersti: Text
VB201. Kersti: Quellen

 
Inhalt

1. Fächerübergreifendes Lernen und seine Bedeutung

Lehrer haben neben den zukünftigen Physikstudenten in ihren Klasse viel mehr Schüler, die ganz andere Pläne für ihr Leben haben. Diese Schüler interessieren sich nur dann für den Schulstoff, wenn dieser so aufgebaut ist, daß ihnen bewußt wird, daß Physik nicht abgehobenes theoretisieren ist sondern daß physikalisches Wissen sich im Alltagsleben anwenden läßt.

Fachübergreifende Themen wie "Physik der Musikinstrumente" muß man daher abwechselnd durch die Brille verschiedener Fächer betrachten, weil nur so wirklich beim Schüler ankommt, daß das physikalische Wissen auch in der Musik praktisch umsetzbar ist.

Daraus lernt man auch Alltagserfahrungen anhand des Schulstoffes zu verstehen. Wer das beherrscht, den erinnern die täglichen Erfahrungen immer wieder an den Schulstoff, so daß er automatisch immer wieder ins Gedächtnis gerufen wird, ohne daß man ihn gezielt vor den Arbeiten üben müßte.

Ich werde in diesem Vortrag über Klangfiguren reden. Darüber, wie die Obertonreihen von Saiten- und Blasinstrumenten unserem Schönheitsempfinden in der Musik zugundeliegen und wie schwierig es ist, eine Tonleiter zu entwickeln, in der diese Obertöne vorkommen, so daß wir Musik machen können, die unserem Schönheitsempfinden entspricht.

 
Inhalt

2. Resonanzfrequenzen und Obertöne

2.1 Schwingungen von Saiten

Um den Computer nicht zu über enthält die Hauptseite des Artikels nur den Text. Die illustrierte Version mit wesentlich mehr Graphiken findet sich hier:
VB201.2.1 Kersti: Die Schwingung der Guitarrensaite - eine transversale Schwingung (Illustrierte Version)

2.1.1 Die Schwingung der Guitarrensaite - eine transversale Schwingung

Wenn man ein Seil - idealerweise ein Gummiseil - in einem bestimmten Tempo schwingt, gibt es in der Mitte einen Schwingungsbauch, wo das Seil sehr stark hin und herschwingt und am Rand einen Schwingungsknoten, wo es fast in Ruhe ist.

Erzeugt man einen einzelnen Schwingungsimpuls, wandert der über das Seil, wird am festgehaltenen Ende reflektiert und kommt dann zurück. Dabei hat sich der Ausschlag ins Gegenteil verkehrt. Bei dieser Schwingung handelt es sich um eine transversale Schwingung, die Ausbreitungsrichtung ist längs der Saite, also von links nach rechts und zurück, die Auslenkung findet aber quer dazu - also nach oben und unten statt.

Wenn man eine regelmäßige Schwingung erzeugt, die irgendwo reflexiert wird entstehen zwei gegenläufige Wellen, die sich überlagern. Diese überlagern sich gegenseitig zu einer resultierenden Welle. Wenn die Ausbreitungsgeschwingigkeit einer Welle im richtigen Verhältnis zu Frequenz und der Länge des Seils steht, entsteht eine stehende Welle, die ihre Schwingsungsbäuche immer an derselben Stelle hat.

Die Häufigkeit der Schwankungen werden in Herz (Hz) angegeben, dem Kehrwert der Sekunde (s), also 1Hz = 1/s . Damit eine stehende Welle entstehen kann, muß die Ausbreitungsgeschwindigkeit (c), mit der eine Ausenkung das Seil entlanglaufen würde genau so sein, daß sich die reflektierte Welle mit der einlaufenden Welle so überlagert, daß sie sich regelmäßig gegenseitig verstärken. Die Frequenzen, in denen das bei einer bestimmten Saite der Fall ist, nennt man Resonanzfrequenzen. Die tiefste Resonanzfrequenz oder Grundfrequenz einer Saite ist ƒ = c / 2L , das heißt wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle (c) ein Meter pro Sekunde wäre, müßte die Saite einen halben Meter lang sein um eine Grundfrequenz von einem Herz zu haben.

  1m/s
------------  =  1Hz
 2 * 0,5m

Damit eine Saite dieser Länge den Kammerton A (440Hz) als Grundfrequenz oder Grundton hätte, müßte die Ausbreitungsgeschwindigkeit bei 440m/s liegen.

  440m/s
-------------  =  440Hz
 2 * 0,5m

Die Flimmerverschmelzungsfrequenz des Auges, die angibt, ab welcher Bildwechselfrequenz wir einen Film auf getrennten Bildern nicht mehr getrennte Bilder sondern als durchgehende Bewegung wahrnehmen liegt zwischen 22 Hz und 90 Hz. Die Schwingungen der Saite sind daher normalerweise so schnell, daß sie vor unseren Augen verschwimmen, wenn wir sie ansehen.

 
Inhalt

2.1.2 Flageolettöne und gegriffene Töne auf der Guitarre

Jeder Körper hat mehrere Resonanzfrequenzen, in denen er zum Schwingen angeregt werden kann. Dabei bilden sich Schwingungsbäuche, an denen der Körper schwingt und Schwingungsknoten, wo er in Ruhe ist. Wenn er als ganzes schwingt, ist der Ton tiefer und die Schwingung langsamer, als wenn er in der Mitte einen Schwingungsknoten hat und beide Seiten getrennt schwingen.

Schwingt man das Seil doppelt so schnell wie der Grundschwingung entspricht, erzeugt also die doppelte Frequenz, entsteht in der Mitte ein dritter Schwingungsknoten, der das Seil in zwei Schwingungsbäuche aufteilt.

Wie ein solches Seil hat eine Guitarrenseite zwei festgehaltene Enden oder Schwingungsknoten, wo sie auf dem Steg aufliegt und ist dazwischen beweglich. Sie schwingt nur viel schneller.

Es gibt einen Trick, um die Obertöne einer Saite einzeln hörbar zu machen. Wenn man bei der Hälfte (Halsansatz) einem Drittel (7. Bund) oder einem Viertel (5.Bund) der Gesamtlänge der Saite locker einen Finger auf die Seite legt, kann man Flageolettöne erzeugen. Flageolettöne sind Töne die als Grundton einen Oberton der Saite und als Obertöne alle Obertöne der Seite haben, die ein durch dessen zahl der Schwingungsbögen (2, 3 bzw. 4) teilbare Zahl an Schwingungsbäuchen haben oder anders beschrieben ein vielfaches der Frequenz des jeweiligen Flageoletttons haben.

Erzeugung der Flageolettöne auf einer Guitarre:
  1. Grundton der Guitarrensaite A - 110 Herz
  2. Im 12. Bund gegriffen erzeugt die Saite einen Ton der doppelten Frequenz (220 Hz), da hier die Saite genau halbiert wird. Es schwingt nur die halbe Saite.
  3. Wird die Saite über dem Metallsteg des 12. Bundes leicht berührt, erzeugt die ebenfalls einen Ton von 220 Herz, da durch die Berührung ein Schwingungsknoten in der Mitte der Saite erzeugt.
  4. Wenn man die Saite im 7. Bund greift entsteht der Ton E mit 165 Herz, da nuun 2/3 der Saite frei schwingen können. (110Hz * 3/2 = 165Hz)
  5. Wird die Saite über dem Metallsteg des 7. Bundes leicht berührt, erzeugt dies einen Ton von 330 Herz, da durch die Berührung ein Schwingungsknoten an dieser Stelle erzeugt wird. Damit sind nur Schwingungen möglich, die bei einem Drittel der Saite einen Knoten haben. Der Ton ist eine Oktave höher als der in diesem Bund gegriffene Ton, da der freie Teil der Saite durch einen weiteren Schwingungsknoten geteilt wird.
  6. Greift man im 5. entsteht der Ton D von 146,7 Herz, da die Saite hier um 1/4 verkürzt wird (110Hz * 4/3 = 146,7Hz)
  7. Wird die Saite über dem Metallsteg des 5. Bundes leicht berührt, erzeugt dies einen Ton von 440 Herz, da durch die Berührung ein Schwingungsknoten an dieser Stelle erzeugt wird. Damit sind nur Schwingungen möglich, die bei einem Viertel der Saite einen Knoten haben. Der Ton ist zwei Oktave höher als der Grundton der Saite.
  8. Kurz vor dem vierten Bund liegt der Punkt, an dem man die Saite fünfteln kann. Es entsteht hier mit 550 Herz in etwa ein Cis.
Bei den Formeln im Bild handelt es sich nicht um mathematische Formeln sondern um eine verkürzte Notation dieser Beschreibung. 11.

 
Inhalt

2.1.3 Obertonreihen und Schönheitsempfinden

Interessant ist nun, daß die ersten Obertöne einer Saite für unseren menschlichen Geschmack sehr gut zueinander passen. Der Abstand zwischen Grundton und erstem Oberton wird in der Musik Oktave genannt. Der Abstand zwischen ersten und zweiten Oberton ist die Quinte. Der Abstand zwischen zweiten und dritten Oberton ist die Quarte. Der Abstand zwischen drittem und vierten Oberton ist die große Terz, der zwischen dem fünften und sechsten die kleine Terz. Alle Akkorde, die in der Musik als gut klingend bekannt sind, tauchen als einer der ersten 5 Intervalle der Obertonreihe auf.

Den Zusammenklang zweier Töne empfinden wir als harmonisch oder schön, wenn sie als aufeinanderfolgende Töne in derselben Obertonreihe vorkommen. Das heißt unser Schönheitsempfinden in der Musik basiert auf der Obertonreihe. Wir empfinden sie als schön, weil sie zur selben Geräuschquelle gehören. Die Fähigkeit sie als zusammengehörig zu erkennen, hilft uns, verschiedene Geräuschquellen nach ihrer Herkunft zu trennen und zu unterscheiden.

2.1.4 Tonleitern - wie bringt man die Obertöne in eine Ordnung, mit der man Musik machen kann?

Nachdem Pytagoras herausgefunden hatte, daß unser musikalisches Schönheitsempfinden auf der Obertonreihe basiert, entwickelte er eine auf Brüchen basierende Tonleiter. Sie hatte jedoch den Nachteil, daß einige Intervalle der Musik, die hätten harmonisch klingen müssen, so ungenau getroffen wurden, daß die schief klangen. Die später entwickelte reine Stimmung behebt diesen Fehler, dafür klingt die Quinte nicht mehr rein.

Heute benutzt man die temperierte oder gleichschwebende Stimmung, bei der eine Oktave in zwölf Halbtonschritte aufgeteilt ist, deren Frequenz immer in demselben Verhältnis zunimmt. Auch hier gibt es Abweichungen zu den reinen Intervallen, sie sind jedoch deutlich geringer als bei den älteren Tonleitern. Da eine Oktave eine Verdopplung der Frequenz bedeutet, und der Kammerton A hat die Frequenz 440 Herz. Daraus kann man folgende Tabelle errechnen:
Grundtonccisddise ffisggisa aishc'
Cii1617181921 2223252627,5 293133
Ci3335373941 4446495255 596265
C6569737882 879298104110 117123131
c131139147156165 175185196208220 233247262
c'262277295311330 349370392415440 466494523
c''523554587622659 698740784831880 9329881046
c'''10461109117512441319 13971479156816611760 186519762092
c''''20922218235024882538 27942958313633223520 373039524186

 
Inhalt

2.1.5 Schwebungen: Gestimmt wird nicht beliebig genau

Wenn zwei mit der Guitarre gleichzeitig angeschlagene Töne geringfügig voneinander abweichen, kann man hören, daß der Ton ein wenig "eiert". Es handelt sich dabei um Lautstärkeschwankungen, die man als Schwebung bezeichnet.

Diese Schwebung entsteht dadurch, daß die beiden gleichzeitig hörbaren Töne sich wie unten gezeigt überlagern. Da Töne Druckschwankungen sind, kann an einer Stelle im Raum immer nur ein Druck herrschen. Da die beiden Töne unterschiedlich schnell schwingen, überlagern sich manchmal zwei Bäuche in denen der Druck höher als im Mittel ist miteinander. Dann ist der Ton laut. Etwas später haben sich die Schwingungen so gegeneinander verschoben, daß sich hoher Druck mit niedrigem überlagert. Dann ist der Ton leise.

Man kann Schwebungen benutzen, um eine Guitarre zu stimmen. Je schneller die Lautstärke schwankt, desto stärker unterscheiden sich die beiden Töne voneinander. Wenn sie fast gleich hoch sind, hört diese Lautstärkerschwankung auf. Eine solche Schwebung wird aber nicht beliebig langsam, sondern hört ab einem bestimmten Punkt (~1 Hz) einfach auf.

Eine Saite die schwingt, nimmt den Steg ein wenig mit, so daß sie tatsächlich etwas tiefer klingt, wie eine etwas längere Saite. Dadurch wird der Schall auf den Resonanzkörper übertragen.

Wenn nun zwei Saiten auf demselben Steg gespannt sind, die etwas eine unterschiedliche Grundschwingung haben, nimmt die, die etwas voraus ist den Steg mit und die zweite Saite wird am Ende passiv hinterhergezogen, so daß ein Knoten weiter innen dicht am Ende der Saite entsteht. Die Saite mit der niedrigeren Grundfrequenz klingt deshalb etwas höher als ihrer Länge entspricht, so daß beide Saiten gleich hoch klingen, wenn der Unterschied gering genug ist.

 
Inhalt

2.2 Blasinstrumente: Longitudinale Schwingungen in der Musik

Longitudinale Schwingung

Bei Flöten, Orgelpfeifen und Trompeten liegt an offenen Enden liegt immer ein Schwingungsbauch, an geschlossenen ein Schwingungsknoten.

Man kann die Stelle, an der der Ton erzeugt wird bezüglich der Luftbewegungen jeweils als offenes Ende betrachten. Das andere Ende ist ebenfalls ein offenes Ende, da die Flöte dort offen ist und die Luft dort ebenfalls frei schwingt. Nur die Gedackten Orgelpfeifen sind am Ende verschlossen, was dann naheliegenderweise als festes Ende zählt, an dem immer eine Schwingungsknoten liegt, weil sich die Luft dort nicht hin und herbewegen kann.

 
Inhalt

2.3 Chladneysche Klangfiguren

Um den Computer nicht zu über enthält die Hauptseite des Artikels nur den Text. Die illustrierte Version mit wesentlich mehr Graphiken findet sich hier:
VB20121.2.3 Kersti: Chladnische Klangfiguren und was man daraus über Musikinstrumente lernen kann (Illustrierte Version)

 
Inhalt

2.3.1 Chladneysche Klangfiguren

Chladney zeigte das als erster, indem er eine Metallplatte, auf die Sand gestreut war, mit einem Geigenbogen zu Schwingungen anregte. An den Schwingungsknoten blieb dann der Sand liegen, während er an den Schwingungsbäuchen durch die schwingende Platte ständig in Bewegung gehalten wird, bis er schließlich zu einem Knoten gelangt und dort liegenbleibt. Das entstehende Bild wird Chladneysche Klangfigur genannt.

 
Inhalt

2.3.2 Resonanzfrequenzen der Trommel

Für die Trommel gibt es ebenfalls solche Klangfiguren, die zu Frequenzen gehören, die in einem nicht ganzzahligen Verhältnis stehen.

 
Inhalt

2.3.3 Geigenbau

Geigenbauer klopfen den unfertigen Resonanzkörper ihrer Geigen üblicherweise ab, um deren Klang zu prüfen. Durch entfernen kleiner Holzspäne optimieren sie ihn so, daß er die passenden Resonanzfrequenzen hat, um alle Töne der Geigensaite optimal zu verstärken. Carleen Haley Hutchins hat Klangfiguren, die sie auf dem Boden und Deckel einer Geige erzeugte verwendet, um den Klang ihrer Geigen zu optimieren4. S.88ff. Dabei stelle sie fest, daß die Tiefste Resonanzfrequenz von Deckel und Boden sich um einen Halbton unterscheiden sollte, um einen guten Klang zu ergeben.

 
Inhalt

2.4 Klangfarbe

Durch Forrieranalyse kann man feststellen, daß die Grundschwingung eines Tons der Tonhöhe entspricht. Die Oberschwingungen prägen die Klangfarbe.

Der Synthesizer arbeitet übrigens mit dem umgekehrten Verfahren: er setzt die gewünschte Klangfarbe mittels Fouriersynthese zusammen.

 
Inhalt

4. Rhythmus, Takt, Rückkopplung und Evolution

4.1 Musik ist nicht Zwecklos

Musikinstrumente wie die Flöte gab es schon in der Steinzeit und es gibt sie in allen Kulturen. Bei etwas das so allgegenwärtig wie Musik ist, muß man davon ausgehen, daß es einen evolutionären Nutzen hat oder mit etwas zusammenhängt, das einen solche Nutzen hat.

Obertonreihen dienen dazu, erkennbar zu machen, welche Schwingungen zu demselben Gegenstand gehören.

Im menschlichen Körper gibt es mehrere Taktgeber, die unsere inneren Rhythmen wie Herzschlag, Tag-Nacht-Rhythmus, Schlafrhythmus. Alle bestehen aus System, das einen Takt vorgibt und einer Rückkopplungsschleife, ihn mit der Umgebung synchronisiert. Wenn Außenreize fehlen, die zu Synchronisation geeignet sind, haben wir beispielsweise einen etwas längeren Schlafzyklus als 24 Stunden.

aufeinander einstimmen des Arbeitsrhythmus, Shanties=Matrosenlieder, Waschfrauenlieder, Marschmusik, Trance, die Leichte, Spirituals für Trancegottesdienste, Beim Gehen das richtige Tempo finden, Rudern ....

Tanzen und soziales aufeinander Einstimmen, Soziale Resonanz

Autor: Stuart Roy Hameroff et Al. schreiben, daß Rhythmen in unterschiedlichen Frequenzen, die miteinander gekoppelt sind es ermöglichen, daß Quantenprozesse sich auf makroskopischer Ebene auswirken12.. Das wiederum ist bedeutsam, weil die Quantenmechanik prizipiell erklären kann, warum es spirituelle Phänomene gibt.
VB212. Kersti: Das bewußte Universum der Quantentheorie erklärt die spirituellen Phänomene
Außerdem ist die Quantemechanik dasjenige, was Bewußtsein mit der Physik koppelt.
VB174.4 Kersti: Quantenprozesse in den Microtubuli verbinden Körper und Seele

 
Inhalt

5. Zusammenfassung

Auch bei Resonanzkörpern von Musikinstrumenten und bei Trommeln entstehen werden jeweiligen Resonanzfrequenzen Schwingungsbauchflächen und Knotenlinen die sich als Chladneysche Klangfiguren darstellen lassen. Oberschwingungen der Blas- und Saiteninstrumente sind ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung. Der Grundton entspricht der Tonhöhe, die Obertöne prägen die Klangfarbe. Uns gefallen Tonhöhenverhältnisse, wie sie in der Obertonreihe vorkommen, also einfache Brüche. Eine Tonleiter zu konstruieren, die der Obertonreihe (und damit unserem Schönheitsempfinden) keine Gewalt antut ist nicht einfach. Im Endeffekt wurde die Oktave, die einem Frequenzverhältnis von 1/2 entspricht, logarythmisch in 12 Intervalle geteilt.

 
Inhalt

Quellen

  1. Autor: Dieter Meschede: Buch: B143.2 Gerthsen Physik. (21. Auflage 2002) Berlin, Heidelberg: Springer Verlag ISBN 3-540-42024-X
  2. Autor: Gerolf Baier: Buch: B115.3.3 Rythmus. Tanz in Körper und Gehirn. (2001) Rowohlt Taschenbuch Verlag, ISBN 3-499-60822-7
  3. Autor: Wilhelm Stauder: Buch: B143.4 Einführung in die Akustik. (1999) Wilhelmshaven: Florian Noetzel/Heinrichshoven-Bücher, ISBN: 3795901219
  4. Autor: Klaus Winkler (Hrsg.): Buch: B143.5 Die Physik der Musikinstrumente. (1992) Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, ISBN: 3827402913
  5. Bild VB201.JPG: Welt: File:KOCIS Korea Jeongwol Daeboreum 04 (8509905744).jpg oder Welt: Korea_Jeongwol_Daeboreum_04 (Flickr Original) von dem Flickr-Stream der Welt: Republic of Korea, Vielen Dank für die Veröffentlichung unter der Lizenz Welt: CC BY-SA 4.0. Thank you very much!
  6. Bild VB201.GIF: Welt: File:Normal mode of string.gif von Welt: User:P.wormer von Wikimedia Commons. Danke daß du das Bild unter GNU 1.2 und Welt: CC BY-SA 3.0 freigegeben hast. Thank you very much!
  7. Bild VB20101.GIF: Welt: File:First overtone of string.gif von Welt: User:P.wormer von Wikimedia Commons. Danke daß du das Bild unter GNU 1.2 und Welt: CC BY-SA 3.0 freigegeben hast. Thank you very much!
  8. Bild VB20102.GIF: Welt: File:Standing waves on a string.gif von Welt: User:Awilley von Wikimedia Commons. Danke daß du das Bild unter Welt: CC BY-SA 3.0 freigegeben hast. Thank you very much!
  9. Bild VB20103.GIF: Welt: File:Wave equation 1D fixed endpoints.gif von Welt: User:Oleg Alexandrov von Wikimedia Commons. Danke daß du das Bild in die Gemeinfreiheit entlassen hast. Thank you very much!

     

  10. Bild VB20104.GIF: Welt: File:Stehwelle (Animation).gif von Welt: Benutzer:Averse von der deutschen Wikipedia. Danke daß du das Bild unter GNU 1.2 und Welt: CC BY-SA 3.0 freigegeben hast. Thank you very much!
  11. Bild VB201.PNG: Welt: File:Flageolette.svg von Welt: User:Mjchael, Danke, daß Du das Bild unter der Lizenz Welt: CC BY-SA 2.5 zur Verfügung gestellt hast. Thank you very much!
  12. Autor: Stuart Roy Hameroff, Autor: Travis J. A. Craddock, Autor: Jack Tuszynski: Quantum effects in the understanding of consciousness. In: Zeitschrift: Journal of Integrative Neuroscience, Vol. 13, No. 2 (2014) 229 – 252 (Welt: Volltext)
  13. Bild VB20101.PNG: Welt: File:Bowing chladni plate.png aus: Autor: William Henry Stone (Physiker): Buch: B171. Elementary Lessons on Sound. (1879) London: Macmillan and Co. (Welt: Volltext)(Welt: Volltext)(Welt: 3), p. 26, fig. 12
  14. Bild VB20101.JPG: Welt: File:Chladni pattern 4.jpg von Welt: User:Elmar Bergeler von Wikimedia Commons
    Vielen Dank daß Du das Bild unter Welt: CC BY-SA 3.0 hochgeladen hast! Thank you very much!
  15. Bild VB20102.JPG: Welt: File:PSM V03 D015 Figures of vibrating plates.jpg aus: Wave-action in nature. In: Zeitschrift: The Popular science monthly, Vol. 3, Mai 1873, S.2-12, Fig 4 auf S. 5
  16. Bild VB20103.JPG: Welt: File:Chladni.jpg von Welt: User:Mrspokito von Wikimedia Commons
    Vielen Dank daß Du das Bild unter Welt: GNU 1.2, Welt: CC BY-SA 4.0, Welt: CC BY-SA 3.0, Welt: CC BY-SA 2.5, Welt: CC BY-SA 2.0, Welt: CC BY-SA 1.0 hochgeladen hast! Thank you very much!
  17. Bild VB20102.PNG: Verkleinerte Version von Welt: File:Chladni Guitar.svg von Welt: User:Far2 von der englischen Wikipedia
    Vielen Dank daß Du das Bild vollständig freigegeben hast! Thank you very much!
  18. Bild VB20105.GIF: "Resonanzfrequenzen der Trommel" von Kersti Nebelsiek, Lizenz: CC0
  19. Bild VB20106.GIF: Welt: File:Drum vibration mode01.gif von Welt: User:Oleg Alexandrov von Wikimedia Commons. Danke daß du das Bild in die Gemeinfreiheit entlassen hast. Thank you very much!

     

  20. Bild VB20107.GIF: Welt: File:Drum vibration mode12.gif von Welt: User:Oleg Alexandrov von Wikimedia Commons. Danke daß du das Bild in die Gemeinfreiheit entlassen hast. Thank you very much!
  21. Bild VB20108.GIF: Welt: File:Drum vibration mode02.gif von Welt: User:Oleg Alexandrov von Wikimedia Commons. Danke daß du das Bild in die Gemeinfreiheit entlassen hast. Thank you very much!
  22. Bild VB20109.GIF: Welt: File:Drum vibration mode13.gif von Welt: User:Oleg Alexandrov von Wikimedia Commons. Danke daß du das Bild in die Gemeinfreiheit entlassen hast. Thank you very much!

Ein Text von Kersti Nebelsiek, Alte Wilhelmshäuser Str. 5, 34376 Immenhausen - Holzhausen, Tel.: 05673/1615, https://www.kersti.de/, Kersti_@gmx.de
Da ich es leider nie schaffe, alle Mails zu beantworten, schon mal im Voraus vielen Dank für all die netten Mails, die ich von Lesern immer bekomme.
Werbung - auch in Form spiritueller Newsletter - ist nicht erwünscht und ich bin nicht damit einverstanden, daß diese Adresse für Werbezwecke gespeichert wird.